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第五章微波网络基础

§ 5.1 引言

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一、微波元件的研究方法

微波系统是由多种功能各异的微波元件组成的，而每种微波元件又由i（i=1,2...)根均匀传输线(如波导、同轴

线、微带和光纤等）和边界条件不同于均匀传输线系统的不均匀区域或不连续性（如膜片、金属杆和阶梯等）组成的

一种结构，如图所示。

研究微波元件的方法有两种，即“场”的方法和“路”的方法。所谓“场”的方法，是从麦氏方程组出发，解电

磁场的边值问题，求出微波元件内部任一点的场量，从而确定其外特性。所谓“路”的方法，就是把一个微波元件等

效为一个网络，这个网络通常称为微波网络，如图,并建立一组网络参数,然后用电路理论和传输线理论分析该网络各

参考面上的电压和电流或入射波和反射波电压同网络参数间的普遍关系,建立网络方程,从而求得微波元件对传输波型

的传输特性。

二、微波元件等效为微波网络

由于传输线1与不均匀区V交界处的边界形状复杂,在不均匀区V的内部以及与其相邻的各输入传输线的区域中激起的电磁场也是很复杂的但总可用相应的主模波和高次模波的线性迭加来表示.

可见任一复杂的微波元件,其内的电磁场可分为二区:一为参考面与不均匀区间的部分,称为近区;另一为参考面以

外的均匀传输线部分,称为远区.

三、微波网络的分类

微波元件种类繁多，可从不同角度对微波网络进行分类。但就网络特性而论，可分为四类：

（1）线性微波网络与非线性微波网络

（2）互逆微波网络与非互逆微波网络

（3）有耗微波网络与无耗微波网络

（4）对称微波网络与非对称微波网络

§ 5.2 微波传输线等效为双线和不均匀区等效为网络

一、微波传输线等效为双线

1.均匀传输线中的等效电压和电流

为了将均匀波导传输线等效为双线,可以根据微波传输线中的传输的功率相等的原则,引入等效电压和等效电流的概念

。等效电压和等效电流需作如下的规定：

（1）等效电压V(z)和等效电流I(z)分别正比于波导中的横向电场和横向磁场,即

(5-1)

（2）等效电压和等效电流共轭乘积的实部等于双线的平均功率。通过微波传输线所传输的平均功率为

(5-2)

而双线中传输的平均功率为

(5-3)

比较式(5-2)和(5-3),应有如下的功率归一化条件:

(5-4)

（3）等效电压和等效电流之比等于等效阻抗，即

(5-5)

2.归一化等效电压和归一化等效电流

根据模拟圆图中的方法,引入归一化等效阻抗,即

(5-6)

式中是色散波传输线中传输波型的特性阻抗.这样,由于反射系数是可以测量的,且其值是唯一的.若令

(5-7)

并分别称为归一化等效电压和归一化等效电流。

二、不均匀区等效为网络

1.路与场的普遍关系式

考虑一个不均匀区域:一个具有理想导体壁的n口波导结构,除了n个端口外,其余部分与外界没有场的联系,如图所示.若作一封闭面S将其包围起来,并将S和各波导垂直相交的截面选作参考面,且用表示.则其结构内的电磁

场应满足麦氏方程组

利用恒等式,可写出

(5-8)

根据散度定理,及只需对全部参考面积分,即

计及电磁场能量关系,可得

(5-9)

因为参考面垂直于各自的波导轴线,有

这样,可用横向场来计算这个总功率,即

(5-10)

现在,在各参考面上分别引入等效电压V(z)和等效电流I(z),使它们与相应参考面上的横向场有如

下关系:

(5-11a)

若引入归一化条件 (5-11b)

则有

(5-12)

2.不均匀区等效为网络

现在讨论n端口不均匀区等效为n端口网络的问题。为此，要用到下面两个定理。

（1）电磁场的唯一性定理任何一个被封闭曲面包围着的无源场，若给定了曲面上的切向磁场（或切向电场），则其

内部区域中的电磁场是唯一确定的。
（2）线性叠加原理对于线性媒质(均于场强无关),麦克斯韦方程组是线性的。因此，场量满足迭加的性质

，即总场可以由各个部分迭加而成，对应到参考面上的电路量也有迭加性。
现考虑图所示的n端口微波波网络。若该网络除参考面有等效电流作用外，其余各参考面的等效电流均为零

，则根据唯一性原理有

（j=1,2,...n) (5-15)

若网络的各个参考面上同时都有等效电流注入时,则根据叠加原理和式(5-15)可以写出总电压

（j=1,2,...n) (5-16)

类似地可以求出另一种形式的网络方程:

（j=1,2,...n) (5-17)

将式(5-16)和(5-17)写成矩阵形式,得

(5-18)
(5-19)

式中[V]和[I]为n阶矩阵,[Z]和[Y]为n×n阶方阵,即

通常称[Z]为阻抗矩阵,[Y]为导纳矩阵.

3.阻抗参量和导纳参量的性质

（1）无源线性网络的[Z]和[Y]矩阵是对称矩阵

若无源线性网络内部的媒质是各向同性的，则[Z]和[Y]都是对称矩阵，即

（2）无源、线性、互易无耗网络的Z参量和Y参量全为虚数

为了理论分析的普遍性起见，常把各端口的等效电压和等效电流对个端口传输线的等效特性阻抗加以归一化，并相应

写成

（5-27）

阻抗和导纳参量也作相应的归一化：

（5-28）

§ 5.3 散射参量

在微波频率下，通过选取网络端口的电压和电流而定义出来的阻抗参量都是难以测量的。因此，以入射波和反射

波作为端口变量来分析微波网络问题就更方便。而散射参量就是联系网络端口上的入射波和反射波间关系的一组网络

参量。

由于等效电压和等效电流满足传输线方程，因此，与双线传输线类似，有

式中和是网络第i个端口参考面上的等效电压和等效电流，是该端口的等效特性阻抗，和分别表示参

考面上的入射波等效电压和反射波等效电压。若令

则归一化等效电压和等效电流有

则（5-31）

将式（5-29）代入式（5-31），我们可写出

（5-32）

式中为函数

用矩阵表示时，式（5-32）可写成

(5-33）

可得

（5-34）

即[b]与[a]间存在线性关系，并写作

式中（5-36a）

而

（5-36b）

称为散射矩阵，其元素称为n端口网络的散射参量。其基本特性见左侧链接

一、散射参量的物理意义

假设有一个n端口网络除第i个端口接信号源外，其余各端口均接匹配负载，即

,由式(5-35)可得

（5-37a）

显然，就是i端口的电压反射系数，即。而

（5-37b）

即就是i端口的电压传输系数。

二、互易特性

无源、线性、互易网络的散射矩阵是对称矩阵，它具有转置不变性，即

或（5-38）

三、无耗特性

如果网络无耗,则其对应的散射矩阵满足酉矩阵条件,即

(5-41)

式中是共轭转置矩阵。

四、相移特性

设如图5-5所示的n端口网络,其第i端口的参考面向外移一段距离至处。根据传输线理论，若原参考面上的入射波归一化电压和反射波归一化电压分别为和，则新参考面上的相应量和与和相比，将分别超前与滞后一相位，则

式中（5-46）

这样，为了分析的方便，可以根据需要选择各端口参考面的位置，以使散射参量是纯虚数、实数或复数。

§ 5.4 n端口网络的简化

一个n端口网络若有一个端口、或两个端口、...或n-1个端口接上已知负载，如图所示，则这些端口对外界而言

就不再有用了。从而，原n端口网络便分别变成n-1端口网络、或n-2端口网络，...或一端口网络。

现在，我们来简化网络的等效散射参量。对于图示,我们可写出如下的散射方程:

(i=1,2,...,n) (5-47)

当网络的k端口接上一个反射系数为的负载时,有,将其代入式(5-47),可写出

由式(5-48a)解出,并将其代入式(5-48b)中,可得

, (5-49)

消去k端口后的简化n-1端口的等效散射参量,为

(5-50)

依此类推,当n端口网络除一个端口外其余的都分别接上反射系数为的负载时,其简化一端口网络的等

效散射参量为

,i,j=1 (5-54)

§ 5.5 微波系统的分析方法

在微波网络分析及微波测量技术中,为了研究微波能量在系统中的输出、输入关系；确定负载反射系数如何影响在

该系统中传输的信号的衰减与相移；寻求网络参数的测量方法以及估算测量误差等，都需要对整个系统进行分析与计

算。分析的方法大致有：直接法、矩阵代数法、等效电源法和信号流图法。

本节重点放在等效电源法以及信号流图法，故直接法和矩阵代数法不多做介绍，请读者参看有关书籍。

一、直接法

略

二、矩阵代数法

略

三、等效电源法

为了在微波电路中导出等效电源，让我们先看一个电源与负载直接连接起来的最简单的为波电路，如图所示。显

然有

（5-76）

而对于与电源和负载相连接的二端口网络来说，则有

由此可解出

（5-77）

比较式（5-76）和（5-77），可以看出，为了将图5-9(a)的等效电源电路,可以认为在端口2处有一个等效电源,其等效电源波电压和等效反射系数分别为

这样,式(5-77)可改为

(5-78)

由图有

对于整个网络,有

(5-79)

对于图5-7所示的n端口网络,由式(5-67)和(5-68),有

于是,由式(5-79),可得

式中

(5-81)

我们进一步讨论式(5-80)它表示等效电源波电压同各端口上原来的电源波间的相互关系。显然，i端口的等效电源波与该端口的原电源电压波无关，这就要求。于是，由式（5-82）可得

即

（5-84）

而由式（5-80），并计及式（5-82）和（5-83），可得

（5-85）

式（5-84）和（5-85）就是等效电源参数的计算公式。

四、信号流图法

信号流图法是求解线性方程组的图解法，他用图形（即信号流图）表示信号在系统中的流通情况，描述线性方程中自

变量和因变量之间的关系，直接写出其解的方法。

1.网络信流图的的建立法则

信号流图的建立法则是:
（1）每个变量(信号)和都用一个小圆圈表示,并称为结点。

（2）每个散射参量和反射系数都用一条称为支路的有向线段表示，箭头表示信号流出的方向,支路系数表示信号流出

的系数。

（3）结点信号流出的大小，等于该结点信号乘以它所经的之路系数。

（4）结点上流入信号的总和等于该结点的信号。

根据上述流图的建立法则，我们可以一些散射参数方程用信号流图表示，如图5-13所示。

图5-14给出几种常用微波网络元件及其对应的信号流图。

2.信号流图的不接触环法

不接触环法可以把流图中任意两点的信号比较直接求解出来。先定义环和路两个术语。

“路”：从一个结点顺着箭头方向（经过若干结点）到另一个结点的通路。

“环”：一条闭合的路叫做“一阶环”，其环值就是这条闭和路之值；两个互不接触的一阶环构成一个“二阶环”，

二阶环之值等于两个互不接触环之值的乘积；余类推。
有了路和环的概念后，我们就可以写出“不接触环法则”。设在信号流图中任意两个结点A和B的信号比为，则有

（5-86）

式中是由结点A到结点B的第i条路之值；

分别是所有一阶环、二阶环、三阶环、..之值之和；
分别是所有不与路径相接触的一阶环、二阶环、三阶环、...之值之和。

3.用化简信号流图求解

化简流图通常遵守若干基本规则,说明如下。
（1）加法规则---若在两个结点和间有n条同向并联之路，则可合并为一，合并后的支路系数为原n条之路系数

之和，如图5-16所示。

因为

所以规则成立。
（2）乘法规则---若从某一结点连续经过支路系数为的n条串联支路而至结点,则可消去公共结

点,使它们合并成一条支路,其方向不变。如图5-17所示。

因为

故得

（3）消自环规则---从一结点出发，而又终止于自身的支路，称为自环。为消去系数为的自环，需将进入该结点的各支路系数除以，而离开该结点的支路系数不变，如图5-18所示。因为

由此可得

（4）结点分裂规则---一个结点可以分裂成几个结点，分裂后的流图应保持原结点上的输入、输出组合，如果原流图

在该结点处有一自环，则每个分裂结点上也应保持该自环。图5-19画出这一规则化简流图的例子。

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		第五章微波网络基础 § 5.1 引言 [下一节][目录] 辅助教学图(flash) 一、微波元件的研究方法微波系统是由多种功能各异的微波元件组成的，而每种微波元件又由i（i=1,2...)根均匀传输线(如波导、同轴线、微带和光纤等）和边界条件不同于均匀传输线系统的不均匀区域或不连续性（如膜片、金属杆和阶梯等）组成的一种结构，如图所示。研究微波元件的方法有两种，即“场”的方法和“路”的方法。所谓“场”的方法，是从麦氏方程组出发，解电磁场的边值问题，求出微波元件内部任一点的场量，从而确定其外特性。所谓“路”的方法，就是把一个微波元件等效为一个网络，这个网络通常称为微波网络，如图,并建立一组网络参数,然后用电路理论和传输线理论分析该网络各参考面上的电压和电流或入射波和反射波电压同网络参数间的普遍关系,建立网络方程,从而求得微波元件对传输波型的传输特性。二、微波元件等效为微波网络由于传输线1与不均匀区V交界处的边界形状复杂,在不均匀区V的内部以及与其相邻的各输入传输线的区域中激起的电磁场也是很复杂的但总可用相应的主模波和高次模波的线性迭加来表示. 可见任一复杂的微波元件,其内的电磁场可分为二区:一为参考面与不均匀区间的部分,称为近区;另一为参考面以外的均匀传输线部分,称为远区. 三、微波网络的分类微波元件种类繁多，可从不同角度对微波网络进行分类。但就网络特性而论，可分为四类：（1）线性微波网络与非线性微波网络（2）互逆微波网络与非互逆微波网络（3）有耗微波网络与无耗微波网络（4）对称微波网络与非对称微波网络




		§ 5.2 微波传输线等效为双线和不均匀区等效为网络 [上一节][下一节][目录] 一、微波传输线等效为双线 1.均匀传输线中的等效电压和电流为了将均匀波导传输线等效为双线,可以根据微波传输线中的传输的功率相等的原则,引入等效电压和等效电流的概念。等效电压和等效电流需作如下的规定：（1）等效电压V(z)和等效电流I(z)分别正比于波导中的横向电场和横向磁场,即 (5-1) （2）等效电压和等效电流共轭乘积的实部等于双线的平均功率。通过微波传输线所传输的平均功率为 (5-2) 而双线中传输的平均功率为 (5-3) 比较式(5-2)和(5-3),应有如下的功率归一化条件: (5-4) （3）等效电压和等效电流之比等于等效阻抗，即 (5-5) 2.归一化等效电压和归一化等效电流根据模拟圆图中的方法,引入归一化等效阻抗,即 (5-6) 式中是色散波传输线中传输波型的特性阻抗.这样,由于反射系数是可以测量的,且其值是唯一的.若令 (5-7) 并分别称为归一化等效电压和归一化等效电流。二、不均匀区等效为网络 1.路与场的普遍关系式考虑一个不均匀区域:一个具有理想导体壁的n口波导结构,除了n个端口外,其余部分与外界没有场的联系,如图所示.若作一封闭面S将其包围起来,并将S和各波导垂直相交的截面选作参考面,且用表示.则其结构内的电磁场应满足麦氏方程组利用恒等式,可写出 (5-8) 根据散度定理,及只需对全部参考面积分,即计及电磁场能量关系,可得 (5-9) 因为参考面垂直于各自的波导轴线,有这样,可用横向场来计算这个总功率,即 (5-10) 现在,在各参考面上分别引入等效电压V(z)和等效电流I(z),使它们与相应参考面上的横向场有如下关系: (5-11a) 若引入归一化条件 (5-11b) 则有 (5-12) 2.不均匀区等效为网络现在讨论n端口不均匀区等效为n端口网络的问题。为此，要用到下面两个定理。（1）电磁场的唯一性定理任何一个被封闭曲面包围着的无源场，若给定了曲面上的切向磁场（或切向电场），则其内部区域中的电磁场是唯一确定的。（2）线性叠加原理对于线性媒质(均于场强无关),麦克斯韦方程组是线性的。因此，场量满足迭加的性质，即总场可以由各个部分迭加而成，对应到参考面上的电路量也有迭加性。现考虑图所示的n端口微波波网络。若该网络除参考面有等效电流作用外，其余各参考面的等效电流均为零，则根据唯一性原理有（j=1,2,...n) (5-15) 若网络的各个参考面上同时都有等效电流注入时,则根据叠加原理和式(5-15)可以写出总电压（j=1,2,...n) (5-16) 类似地可以求出另一种形式的网络方程: （j=1,2,...n) (5-17) 将式(5-16)和(5-17)写成矩阵形式,得 (5-18) (5-19) 式中[V]和[I]为n阶矩阵,[Z]和[Y]为n×n阶方阵,即通常称[Z]为阻抗矩阵,[Y]为导纳矩阵. 3.阻抗参量和导纳参量的性质（1）无源线性网络的[Z]和[Y]矩阵是对称矩阵若无源线性网络内部的媒质是各向同性的，则[Z]和[Y]都是对称矩阵，即（2）无源、线性、互易无耗网络的Z参量和Y参量全为虚数为了理论分析的普遍性起见，常把各端口的等效电压和等效电流对个端口传输线的等效特性阻抗加以归一化，并相应写成（5-27）阻抗和导纳参量也作相应的归一化：（5-28）




		§ 5.3 散射参量 [上一节][下一节][目录] 在微波频率下，通过选取网络端口的电压和电流而定义出来的阻抗参量都是难以测量的。因此，以入射波和反射波作为端口变量来分析微波网络问题就更方便。而散射参量就是联系网络端口上的入射波和反射波间关系的一组网络参量。由于等效电压和等效电流满足传输线方程，因此，与双线传输线类似，有式中和是网络第i个端口参考面上的等效电压和等效电流，是该端口的等效特性阻抗，和分别表示参考面上的入射波等效电压和反射波等效电压。若令则归一化等效电压和等效电流有则（5-31）将式（5-29）代入式（5-31），我们可写出（5-32）式中为函数用矩阵表示时，式（5-32）可写成 (5-33）可得（5-34）即[b]与[a]间存在线性关系，并写作式中（5-36a）而（5-36b）称为散射矩阵，其元素称为n端口网络的散射参量。其基本特性见左侧链接一、散射参量的物理意义假设有一个n端口网络除第i个端口接信号源外，其余各端口均接匹配负载，即 ,由式(5-35)可得（5-37a）显然，就是i端口的电压反射系数，即。而（5-37b）即就是i端口的电压传输系数。二、互易特性无源、线性、互易网络的散射矩阵是对称矩阵，它具有转置不变性，即或（5-38）三、无耗特性如果网络无耗,则其对应的散射矩阵满足酉矩阵条件,即 (5-41) 式中是共轭转置矩阵。四、相移特性设如图5-5所示的n端口网络,其第i端口的参考面向外移一段距离至处。根据传输线理论，若原参考面上的入射波归一化电压和反射波归一化电压分别为和，则新参考面上的相应量和与和相比，将分别超前与滞后一相位，则式中（5-46）这样，为了分析的方便，可以根据需要选择各端口参考面的位置，以使散射参量是纯虚数、实数或复数。




		§ 5.4 n端口网络的简化 [上一节][下一节][目录] 一个n端口网络若有一个端口、或两个端口、...或n-1个端口接上已知负载，如图所示，则这些端口对外界而言就不再有用了。从而，原n端口网络便分别变成n-1端口网络、或n-2端口网络，...或一端口网络。现在，我们来简化网络的等效散射参量。对于图示,我们可写出如下的散射方程: (i=1,2,...,n) (5-47) 当网络的k端口接上一个反射系数为的负载时,有,将其代入式(5-47),可写出由式(5-48a)解出,并将其代入式(5-48b)中,可得 , (5-49) 消去k端口后的简化n-1端口的等效散射参量,为 (5-50) 依此类推,当n端口网络除一个端口外其余的都分别接上反射系数为的负载时,其简化一端口网络的等效散射参量为 ,i,j=1 (5-54)




		§ 5.5 微波系统的分析方法 [上一节][目录] 在微波网络分析及微波测量技术中,为了研究微波能量在系统中的输出、输入关系；确定负载反射系数如何影响在该系统中传输的信号的衰减与相移；寻求网络参数的测量方法以及估算测量误差等，都需要对整个系统进行分析与计算。分析的方法大致有：直接法、矩阵代数法、等效电源法和信号流图法。本节重点放在等效电源法以及信号流图法，故直接法和矩阵代数法不多做介绍，请读者参看有关书籍。一、直接法略二、矩阵代数法略三、等效电源法为了在微波电路中导出等效电源，让我们先看一个电源与负载直接连接起来的最简单的为波电路，如图所示。显然有（5-76）而对于与电源和负载相连接的二端口网络来说，则有由此可解出（5-77）比较式（5-76）和（5-77），可以看出，为了将图5-9(a)的等效电源电路,可以认为在端口2处有一个等效电源,其等效电源波电压和等效反射系数分别为这样,式(5-77)可改为 (5-78) 由图有对于整个网络,有 (5-79) 对于图5-7所示的n端口网络,由式(5-67)和(5-68),有于是,由式(5-79),可得式中 (5-81) 我们进一步讨论式(5-80)它表示等效电源波电压同各端口上原来的电源波间的相互关系。显然，i端口的等效电源波与该端口的原电源电压波无关，这就要求。于是，由式（5-82）可得即（5-84）而由式（5-80），并计及式（5-82）和（5-83），可得（5-85）式（5-84）和（5-85）就是等效电源参数的计算公式。四、信号流图法信号流图法是求解线性方程组的图解法，他用图形（即信号流图）表示信号在系统中的流通情况，描述线性方程中自变量和因变量之间的关系，直接写出其解的方法。 1.网络信流图的的建立法则信号流图的建立法则是: （1）每个变量(信号)和都用一个小圆圈表示,并称为结点。（2）每个散射参量和反射系数都用一条称为支路的有向线段表示，箭头表示信号流出的方向,支路系数表示信号流出的系数。（3）结点信号流出的大小，等于该结点信号乘以它所经的之路系数。（4）结点上流入信号的总和等于该结点的信号。根据上述流图的建立法则，我们可以一些散射参数方程用信号流图表示，如图5-13所示。　图5-14给出几种常用微波网络元件及其对应的信号流图。 2.信号流图的不接触环法不接触环法可以把流图中任意两点的信号比较直接求解出来。先定义环和路两个术语。 “路”：从一个结点顺着箭头方向（经过若干结点）到另一个结点的通路。 “环”：一条闭合的路叫做“一阶环”，其环值就是这条闭和路之值；两个互不接触的一阶环构成一个“二阶环”，二阶环之值等于两个互不接触环之值的乘积；余类推。有了路和环的概念后，我们就可以写出“不接触环法则”。设在信号流图中任意两个结点A和B的信号比为，则有（5-86）式中是由结点A到结点B的第i条路之值；分别是所有一阶环、二阶环、三阶环、..之值之和；分别是所有不与路径相接触的一阶环、二阶环、三阶环、...之值之和。 3.用化简信号流图求解化简流图通常遵守若干基本规则,说明如下。（1）加法规则---若在两个结点和间有n条同向并联之路，则可合并为一，合并后的支路系数为原n条之路系数之和，如图5-16所示。因为所以规则成立。（2）乘法规则---若从某一结点连续经过支路系数为的n条串联支路而至结点,则可消去公共结点,使它们合并成一条支路,其方向不变。如图5-17所示。因为故得（3）消自环规则---从一结点出发，而又终止于自身的支路，称为自环。为消去系数为的自环，需将进入该结点的各支路系数除以，而离开该结点的支路系数不变，如图5-18所示。因为由此可得（4）结点分裂规则---一个结点可以分裂成几个结点，分裂后的流图应保持原结点上的输入、输出组合，如果原流图在该结点处有一自环，则每个分裂结点上也应保持该自环。图5-19画出这一规则化简流图的例子。
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